Lo siento Leibniz: Tú tampoco inventaste el sistema binario.

De todos es conocido la disputa por la invención del cálculo infinitesimal entre Leibniz y Newton, pero parece ser que en una remota isla de la polinesia ya se usaba el sistema binario mucho antes de que Leibniz lo inventara, o mejor dicho lo documentara basándose en una interpretación de los hexagramas de las figuras de Fu Xi.

No me puedo resistir a publicar este vídeo donde se documenta la disputa por la invención del cálculo infinitesimal de una manera muy graciosa, aunque no tenga que ver con el tema a tratar. 😉

El sistema binario es un sistema numérico en base 2, con lo que todo se representa con solo dos guarismos. Este es el sistema utilizado por los computadores, ya que,  mediante electrónica, es muy fácil representar 2 estados con un transistor en corte o saturación.

Como ya dijo Leibniz, el sistema binario presenta algunas ventajas a la hora de realizar cálculos, pero también tiene una desventaja, y es que cualquier número medianamente grande tiene una representación muy larga.

Veamos cómo funciona el sistema binario. Cómo solo podemos usar dos guarismos, el 1 y el 0, en cuanto queremos contar más de 2 ya tendremos que utilizar 2 cifras. Cómo se muestra en la siguiente tabla:

Sistema Binario
Decimal Binario Suma
0 0 =0
1 1 =1
2 10 =1+1
3 11 =10+01
4 100 =10+10

Parémonos a pensar un momento sobre la obtención del número 4 en binario (para no liarlo más adelante con número más complejos). Cuando nosotros vamos contando en decimal del 0 al 10, llega un momento, al pasar de nueve, que tenemos que utilizar dos cifras, lo mismo pasará en binario. Cuando nos enseñamos a sumar llega un momento que nos enseñamos a sumar llevando. Cuando sumamos 15+18 por ejemplo seguimos los siguiente pasos:

  1. 15+18
  2. 5+8 = 3 y me llevo una
  3. 1+1 = 2 más la 1 que me he llevado = 3
  4. 15+18 =33

¿Os acordáis? Pues bien, en binario pasa lo mismo es decir si queremos sumar 2 + 2 será:

  1. 2+2
  2. En binario 10+10
  3. 0+0 = 0
  4. 1+1 = 0 y me llevo una
  5. Esta “una” que me he llevado será la cifra que tengo que aumentar. En computación se llama acarreo
  6. 2+2=10+10=100

Es muy sencillo sumar, pero claro, cualquier número relativamente grande sería muy complicado de decir, también hay que señalar que es muy fácil multiplicar cualquier número binario por una potencia de 2, es decir, si quiero multiplicar 4 *2, bastará con desplazar todos los números hacia la izquierda una posición. 4* 2 = (100) *(10) = 1000. Si queremos multiplicar por 4 tendremos que desplazar 2 posiciones, por 8 desplazaremos 3 posiciones, y así consecutivamente con las potencias de 2.

Pero eso no ha evitado que ciertas culturas hayan adoptado esta forma de contar. Existe una comunidad en la provincia de Morobe en Papua Nueva Guinea cuyo secuencia de contaje es de la siguiente manera:

  • 1 = morots
  • 2= serok
  • 3= serok a morots (=2+1)
  • 4= serok a serok (=2+2)
  • 5= serok a serok a morots (=2+2+1)

En realidad nuestro forma de contar es igual cuando decimos Veint-i-trés (= 20 +3), pero con la ventaja de que nuestro sistema de numeración con 10 guarismos hace más fácil la pronunciación de números grandes. Imaginad cómo sería el 23 con “morots” y “serok”.

La mayoría de culturas han optado por utilizar un lenguaje para los números  en base 10, posiblemente motivados por la facilidad para contar con los dedos. También existen, pensando en el número de dedos, culturas con un sistema vigesimal (base 20) o en base 5 (solo una mano). Incluso hay quien piensa que deberíamos cambiar a un sistema en base 12. En el que podríamos seguir contando con los dedos de una mano. Cada una de las cuatro falanges se divide en 3. ¡Intentalo! es divertido. A partir de aquí nos referiremos al lenguaje, por que la aritmética apareció antes que la escritura, es decir las operaciones aritméticas se realizaban de cabeza y nadie las apuntaba. O_o.

Bases numéricas utilizadas en el lenguaje.

Bases numéricas utilizadas en el lenguaje.

Leyenda del mapa de bases numéricas

Leyenda del mapa de bases numéricas

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Actualización 31/01/2013

A raíz de unos comentarios en Menéame caigo en la cuenta de que en el mapa está marcada la península ibérica con dos sistemas de numeración. Uno el decimal usado por la mayoría de nosotros y otro híbrido vigésimo-decimal que pertenece al país vasco (Euskera). En el siguiente enlace se detalla cómo se dice 256 en vasco (http://wals.info/valuesets/131A-bsq) se dice de la siguiente manera:

berr eun eta berr ogei ta hama sei
berr       eun    eta     berr      ogei          ta   hama       sei
dos       cien  y      dos     veinte   y   diez      seis
256 (i.e. 2 x 100 + 2 x 20 + 10 + 6)
Curioso ¿verdad? No hace falta irse hasta la polinesia para encontrarse con sistemas de numeración distintos al decimal. El mapa completo e interactivo por si no lo habéis encontrado con el enlace que puse anteriormente está aquí (http://wals.info/feature/131A#2/25.5/146.1)
He confirmado estos datos con algunos amigos del país vasco y efectivamente se numera así, a mí la verdad es que me ha sorprendido bastante, no tenía ni idea.

Un comentario en menéame decía lo siguiente:

En euskera la numeración es:

10: Hamar
20: Hogei
30: Hogeita hamar (Hogei eta hamar: veinte y diez)
40: Berrogei (Dos veces veinte)
50: Berrogei ta hamar (dos veces veinte y diez)

Y así…

Y efectivamente cómo estáis pensando treinta y cuatro se dice “Venticatorce” (hogei eta hamalau : hogeitamalau) 😉

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Cómo hemos visto un sistema binario es muy sencillo de utilizar, pero un sistema decimal nos permite una forma compacta de expresar cantidades numéricas grandes. Existe una comunidad en la isla de Mangareva en la Polinesia Francesa que utilizan un curioso sistema híbrido, inventado hace siglos por los primeros pobladores de dicha isla. Si bien el sistema normal para contar está basado en un sistema decimal. El lenguaje sigue conservando un curioso sistema híbrido para algunos objetos.

Los primeros pobladores llegaron entre el año 500 u 800 de nuestra era, posiblemente desde las Marquesas, una segunda oleada de pobladores llegaron alrededor del 1150 o 1450 desde el sudeste, y la última oleada fue en el siglo XIX con la llegada del colonialismo europeo. En sus primeros tiempos la sociedad mangarevana era una sociedad fuertemente estratificada, donde el estatus es heredado por el primogénito. De esta forma era muy frecuente que los jefes se asegurasen un tributo de aquellos a los que dejaban cultivar las tierras.

Dado que no había escritura, o al menos en lo que a las matemáticas se refiere, el registro se llevaba de forma oral, de ahí la invención de cierta forma de aritmética que facilitase contar cuantas piezas de cada ofrenda recibían.

El sistema híbrido que se detalla a continuación se restringe al registro o contaje de algunos objetos muy valorados en la antigüedad. Estos objetos son tortugas, pescado, cocos o frutipan (una especie de melón tropical) y pulpos. Estas especies también se solían presentar en un cierta cantidad. Es decir, las tortugas individualmente, los pescados de 2 en 2, los cocos de 4 en 4 y los pulpos de 8 en 8. Con lo que si la unidad en su lenguaje es “tauga”, 12 taugas de peces serán 24 peces, y de pulpos serán 96 pulpos.

El sistema híbrido forma el número de la siguiente forma:

N = [n P80] + [P40]+ [P20]+ [P10]+ [n P10]

donde n es un número del 1 al 9 que seguirá la nomenclatura de la siguiente tabla, que sirve para nombrar la primera decena y el número de potencias de grupos de 80 [n P80], el sistema de potencias de 40, 20 o 10 seguirá una aritmética binaria. Quedará más claro más adelante con un ejemplo.

Numerales en el sistema híbrido mangarevano.

Numerales en el sistema híbrido mangarevano.

En la anterior tabla vemos cómo se nombran los número del 1 al 9, y las potencias que les permiten contar número más grandes, con los símbolos asociados a ésta para abreviar (paua == P) (varu == V). Para los polinesios el número 8 tiene un gran significado mitológico, el dios supremo de Tangaroa tuvo 8 hijos, su héroe mitológico Maui-matavaru es el más joven de una familia de 8 hijos. Por eso parece que esta potencia es la más elevada o al menos destaca en su forma de numerar.

Para saber cómo funciona la numeración tendremos que combinar de la misma forma que hacemos en nuestro sistema los numerales mostrados en la tabla. Por ejemplo, para el 30 sería “Venti-Diez”, ya que no tenemos el 30 definido, en mangarevano sería “paua takau” (PK), entre el diez y el 20 funcionaría igual que en nuestro sistema. El 13, por ejemplo, sería Takau toru (K3).

El sistema binario se observa en las potencias, Takau + Takau (K+K) sería Tataua (T). Ilustraremos con un ejemplo. Sumaremos 273 (toru varu paua takau toru = 3VPK3) con 219 (rua varu tataua takau iva = 2VTK9).

Ejemplo de suma

Ejemplo de suma

Vemos que la parte decimal se suma cómo se sumaría en nuestro sistema, 3 + 9 = 12 (toru + iva = takau rua (K2). La parte de las potencias -PK( paua takau) y T- K (tataua takau) vemos que se suman cómo si de una sistema binario se tratara, K+K = 0 (y nos llevamos P) P+P= 0 (Y nos llevamos T) T+T =0 (y nos llevamos V), vamos subiendo la posición de la potencia que queremos almacenar, este último acarreo de un varu (V) lo volvemos a sumar de manera decimal.

Con lo que toru varu paua toru + rua varu tataua takau iva = ono varu takau rua (6VK2) (273+219=492)

Cómo he comentado con los números binarios, esta forma de numerar nos permite multiplicar y dividir las potencias por potencias de 2, con solo desplazar el termino. 2K -> P, 2 P-> T, 2T -> V, 4K ->T, etc.

Los autores del estudio concluyen que esta mezcla de sistema decimal y binario les permite sustituir cálculos más o menos complejos en simples transformaciones binarias. Mi opinión es que desde el punto de vista occidental puede verse como un sistema complicado, pero ¿Qué pasaría si hubiésemos aprendido así desde pequeños? ¿Tendría alguna ventaja? También hay que pensar que las cuentas se llevaban de cabeza y se almacenaban en la cabeza del jefe, así que alguna ventaja tendrá que tener.

Espero que os haya resultado al menos tan curioso como a mí, y si algo no ha quedado claro os dejo con la referencia, y con los comentarios.

¿Nos seguimos leyendo?

@guardiolajavi

Este post participa en la Edición 4.1231056256 del Carnaval de MatemáticasOrganizado esta vez por @Cuent_cuanticos

Referencias:

Explanation of Binary Arithmetic.

Andrea Bender and Sieghard Beller “Mangarevan invention of binary steps for easier calculation” 

Polynesians May Have Invented Binary Math

Bernad Paul Sypniewski “China and universals Leibniz, Binary mathematics and the Yijing Hexagrams

http://en.wikipedia.org/wiki/I_Ching#Hexagram_table_references

http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_number

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10 comments

    1. 01001110 01101111 00100000 01110011 01100001 01100010 01100101 01110011 00100000 01101100 01101111 00100000 01110001 01110101 01100101 00100000 01101101 01100101 00100000 01100001 01101100 01100101 01100111 01110010 01101111

  1. Si llego a saber del video hace unas semanas me habría ahorrado escribir sobre ese tema… El video es realmente bueno. Además no conocía esta historia de los números y el cálculo binario y me parece impresionante.
    Ahora me surge la duda de cómo va el tanteo de Leibniz contra el mundo…

  2. No he visto el video, por lo que espero no decir nada obvio; pero aunque es cierto que Leibniz no inventó el binario, si que fue el primero en tener una conciencia del universo como algo discreto, y aritmetizable en binario…¡casi “ná” para una época sin computadoras! 🙂

  3. Lo siento, no quiero que nadie se ofenda, este es un gran sitio con magníficas noticias, pero debo decir (o si no reviento) que no todas las palabras acabadas en vocal se acentúan: “…ya se usaba el sistema binario mucho antes de que Leibniz lo inventara (o inventase, no inventará), o mejor dicho lo documentara (o documentase, no “documentará”) basándose en…”.

    Insisto en que cuando se trata de divulgación es aún más importante nuestra ortografía.

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